Question

【題目】如圖所示，等邊△ABC中D點(diǎn)為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，E為直線AC上一點(diǎn)，將△ADE沿著DE折疊，點(diǎn)A落在直線BC上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，若AB＝4，BF：FC＝1：3，則線段AE的長(zhǎng)度為_____．

Answer 1

【答案】或14

【解析】

點(diǎn)E在直線AC上，本題分兩類討論，翻折后點(diǎn)F在BC線段上或點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，根據(jù)一線三角的相似關(guān)系求出線段長(zhǎng)．

解：按兩種情況①點(diǎn)F在線段BC上，如圖所示，由折疊性質(zhì)可知

∠A＝∠DFE＝60°

∵∠BFD+∠CFE＝120°，∠BFD+∠BDF＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠B＝∠C

∴△BDF∽△CFE，∴

∵AB＝4，BF：FC＝1：3

∴BF＝1，CF＝3

設(shè)AE＝x，則EF＝AE＝x，CE＝4﹣x

∴

解得BD＝，DF＝

∵BD+DF＝AD+BD＝4

∴

解得x＝，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)x＝時(shí)，4﹣x≠0

∴x＝是原方程的解

②當(dāng)點(diǎn)F在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，同理可知

△BDF∽△CFE

∴

∵AB＝4，BF：FC＝1：3，可得BF＝2，CF＝6

設(shè)AE＝a，可知AE＝EF＝a，CE＝a﹣4

∴

解得BD＝，DF＝

∵BD+DF＝BD+AD＝4

∴解得a＝14

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝14時(shí)，a﹣4≠0

∴a＝14是原方程的解，綜上可得線段AE的長(zhǎng)為或14

故答案為或14