Question

已知：如圖，AB=BC，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交OC于點D，AD的延長線交BC于點E，過D作⊙O的切線交BC于點F．下列結論：①CD²=CE•CB；②4EF²=ED•EA；③∠OCB=∠EAB；④DF=

1

2

CD．其中正確的結論有

①②④

．

Answer 1

分析：先連接BD，利用相似三角形的判定以及切線的性質定理得出DF=FB，進而分別得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO，再根據相似三角形的性質分別分析即可得出答案．

解答：解：①連接BD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠3=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠DBE=90°，
∴∠1=∠3，
又∵DO=BO，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠CDB=∠CED，
∵∠DCB=∠ECD，
∴△CDE∽△CBD，
∴CD²=CE•CB，故①CD²=CE•CB正確；

②∵過D作⊙O的切線交BC于點F，
∴FD是⊙O的切線，
∵∠ABC=90°，
∴CB是⊙O的切線，
∴FB=DF，
∴∠FDB=∠FBD，
∴∠1=∠FDE，
∴∠FDE=∠3，
∴DF=EF，
∴EF=FB，
∴EB=2EF，
∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，
∴EB²=ED•EA，
∴4EF²=ED•EA，故②4EF²=ED•EA正確；

③∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ADO，
假設③∠OCB=∠EAB成立，
則∠OCB=

1

2

∠COB，
∴∠OCB=30°，
而

BO

BC

=

BO

AB

=

1

2

，與tan30°=

3

3

矛盾，
故③∠OCB=∠EAB不成立，故此選項錯誤；

④∵∠CDF=∠CBO=90°，
∠DCF=∠OCB，
∴△CDF∽△CBO，
∴

DF

BO

=

CD

BC

，
∴

DF

CD

=

BO

CB

，
∵AB=BC，
∴

DF

CD

=

BO

CB

=

1

2

，
∴DF=

1

2

CD；故④DF=

1

2

CD正確．
綜上正確的有①、②、④．
故答案為：①②④．

點評：此題主要考查了圓的切線性質與判定、圓周角定理性質及三角形相似的判定等知識，熟練根據相似三角形的性質得出對應邊之間關系是解題關鍵．