Question

已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙P于D、E，過點E作EF⊥CE交CB的延長線于F．
（1）求證：BC是⊙P的切線；
（2）若CD=2，CB=，求EF的長；
（3）若設PE：CE=k，是否存在實數k，使△PBD恰好是等邊三角形？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接PA、PB；
∵AC切⊙P于A，PA是⊙P的半徑，
∴AC⊥PA．
即：∠PAC=90°，
即PB⊥CB．
又∵PB是⊙P的半徑，
∴BC是⊙P的切線．

（2）解：由切割線定理得：BC²=CD•CE，
∴CE==4．
設EF=x，
根據勾股定理，得x²=（x+2）²-16
∴x=．

（3）解：∵△PBD為等邊三角形，
∴∠CPB=60°．
∵CB是⊙P的切線，
∴CB⊥BP，
∴∠BCP=30°，△PBC為Rt△，
∴PB=PC，PB=PE；
∴PC=2PE，CE=PC+PE，
∴CE=3PE，
∴PE：CE=．
即：k=時，△PBD為等邊三角形．
分析：（1）要證明BC是⊙P的切線，則連接BP，需要證明BP⊥BC．根據已知條件，連接AP．根據切線的性質得到∠PAC=90°，再根據圓周角定理的推論得到CP是直徑，從而得到∠CBP=90°，證明結論；
（2）首先根據切割線定理求得CE的長，再根據勾股定理和切線長定理求得EF的長；
（3）根據等邊三角形的性質和30度的直角三角形的性質進行求解．
點評：掌握切線的判定方法和性質，能夠熟練運用切割線定理、勾股定理以及特殊三角形的性質．