Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，AC=BC=8，O為AB的中點(diǎn)，以O為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形OEF,與邊AC，BC相交于點(diǎn)M，N.有下列結(jié)論：①AM=CN；②CM+CN=8；③；④當(dāng)M是AC的中點(diǎn)時(shí)，OM=ON.其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

連接OC．由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AO=BO=OC，∠A=∠ACO=∠OCB=45°，OC⊥AO，再由同角的余角相等，得到∠1=∠3，根據(jù)ASA即可證明△AMO≌△CNO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

連接OC．

∵Rt△ACB中，AC=BC=8，O為AB的中點(diǎn)，∴AO=BO=OC，∠A=∠ACO=∠OCB=45°，OC⊥AO，∴∠1+∠2=90°．

∵∠EOF=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．

在△AMO和△CNO中，∵∠A=∠OCN=45°，AO=CO，∠1=∠3，∴△AMO≌△CNO，∴AM=CN，故①正確；

∵AM=CN，∴CM+CN=CM+AM=AC=8，故②正確；

∵△AMO≌△CNO，∴S△AMO=S△CNO，∴S四邊形OMCN=S△OMC+S△CON= S△OMC+S△AOM=S△AOC=S△ABC=×AC×BC=×8×8=16，故③錯(cuò)誤；

∵△AMO≌△CNO，∴MO=NO，故④正確．

故答案為：①②④．