Question

已知拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于A、B兩點（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，且OB=OC，tan∠ACO=，頂點為D．
（1）求點A的坐標．
（2）求直線CD與x軸的交點E的坐標．
（3）在此拋物線上是否存在一點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）若點M（2，y）是此拋物線上一點，點N是直線AM上方的拋物線上一動點，當點N運動到什么位置時，四邊形ABMN的面積S最大？請求出此時S的最大值和點N的坐標．
（5）點P為此拋物線對稱軸上一動點，若以點P為圓心的圓與（4）中的直線AM及x軸同時相切，則此時點P的坐標為______．

Answer 1

解：（1）當x=0時，y=6，
∴點C的坐標為C（0，6），
在Rt△AOC中，tan∠ACO=，OC=6，
∴OA=1，
∴A（-1，0）；

（2）∵OB=OC，
∴OB=3，
∴B（3，0），
由題意，得，
解得，
∴y=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∴D（1，8），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線CD的解析式為y=2x+6，
∴點E的坐標為E（-3，0）；

（3）假設存在以點A、C、F、E為頂點的平行四邊形，
當AE為平行四邊形的邊時，F(xiàn)₁（2，6），F(xiàn)₂（-2，6），
當AE為平行四邊形的對角線時，F(xiàn)₃（-4，-6），
經驗證，只有點（2，6）在拋物線y=-2x²+4x+6上，
∴F（2，6）；

（4）如圖，作NQ∥y軸交AM于點Q，
設N（m，-2m²+4m+6），
當x=2時，y=6，
∴M（2，6），
設直線AM的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線AM的解析式為y=2x+2，
∴Q（m，2m+2），
∴NQ=-2m²+4m+6-（2m+2）=-2m²+2m+4，
∵S_△ABM=×4×6=12，
∴S=S_△ABM+S_△AMN=12+S_△ANQ+S_△MNQ，
=12+×3×（-2m²+2m+4），
=-3m²+3m+18，
=-3（m-）²+，
∴當m=時，S的最大值為，
當m=時，y=-2x²+4x+6=-2×+4×+6=，
∴N（，）；

（5）設直線AM與對稱軸相交于點E，
則y=2×1+2=4，
∴點E的坐標是（1，4），
∴AE==2，
設圓的半徑為r，
①圓心在x軸上方時，=，
解得r=-1，
∴點P的坐標為（1，-1），
②圓心在x軸的下方時，=，
解得r=+1，
∴點P的坐標為（1，--1），
綜上所述，點P的坐標為（1，-1）或（1，--1）．
分析：（1）先令x=0求出點C的坐標，再利用三角函數(shù)值求出求出OA的值，從而得到點A的坐標；
（2）求出OB的長度，得到點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再求出頂點坐標D，再用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，就可以求出直線CD與x軸的交點E的坐標；
（3）根據AE是以點A、C、F、E為頂點的平行四邊形的邊或對角線可以求出對應F的坐標有3個，將三個坐標代入拋物線的解析式檢驗就可以確定在拋物線上的點F；
（4）過點N作NQ∥x軸交AM于點Q，根據拋物線的解析式設出點M的坐標，并求出點N的坐標，然后求出直線AM的解析式，再根據解析式以及點N的坐標設出點Q的坐標，然后表示出ABMN的面積S，再根據二次函數(shù)的最值問題進行解答即可；
（5）先求出直線AM與拋物線對稱軸的交點E的坐標，利用勾股定理求出AE的長度，然后分①圓心在x軸上方②圓心在x軸的下方兩種情況，根據相似三角形對應邊成比例求出圓的半徑r，寫出點P的坐標即可．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的判定和性質等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．