Question

某樓盤一樓是車庫(暫不出售)，二樓至二十三樓均為商品房(對外銷售)，商品房售價方案如下：第八層售價為3 000元/米²，從第八層起每上升一層，每平方米的售價增加40元；反之，樓層每下降一層，每平方米的售價減少20元．已知商品房每套面積均為120平方米，開發商為購買者制定了兩種購房方案：
方案一：購買者先交納首付金額(商品房總價的30%)，再辦理分期付款(即貸款)．
方案二：購買者若一次付清所有房款，則享受8%的優惠，并免收五年物業管理費(已知每月物業管理費為a元)
(1)請寫出每平方米售價y(元/米²)與樓層x(2≤x≤23，x是正整數)之間的函數解析式．
(2)小張已籌到120 000元，若用方案一購房，他可以購買哪些樓層的商品房呢？
(3)有人建議老王使用方案二購買第十六層，但他認為此方案還不如不免收物業管理費而直接享受9%的優惠劃算．你認為老王的說法一定正確嗎？請用具體數據闡明你的看法．

Answer 1

（1）y＝x為正整數
（2）小張用方案一可以購買二至十六層的任何一層
（3）見解析

解：(1)1°當2≤x≤8時，每平方米的售價應為：3 000－(8－x)×20＝20x＋2 840(元/平方米)
2°當9≤x≤23時，每平方米的售價應為：3 000＋(x－8)·40＝40x＋2 680(元/平方米)
∴y＝x為正整數．
(2)由(1)知：
1°當2≤x≤8時，小張首付款為
(20x＋2 840)·120·30%
＝36(20x＋2 840)≤36(20×8＋2 840)＝108 000元＜12 0 000元
∴2～8層可任選．
2°當9≤x≤23時，小張首付款為(40x＋2 680)×120×30%＝36(40x＋2 680)元
36(40x＋2 680)≤120 000，解得x≤＝16
∵x為正整數，∴9≤x≤16
綜上得：小張用方案一可以購買二至十六層的任何一層．
(3)若按方案二購買第十六層，則老王要實交房款為：
y₁＝(40×16＋2 680)×120×92%－60a(元)
若按老王的想法則要交房款為：
y₂＝(40×16＋2 680)×120×91%(元)
∵y₁－y₂＝3 984－60a
當y₁＞y₂即y₁－y₂＞0時，解得0＜a＜66.4，此時老王想法正確；
當y₁≤y₂即y₁－y₂≤0時，解得a≥66.4，此時老王想法不正確．