Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x＝1的拋物線經過A（﹣1，0）、C（0，3）兩點，與x軸的另一個交點為B，點D在y軸上，且OB＝3OD

（1）求該拋物線的表達式；

（2）設該拋物線上的一個動點P的橫坐標為t

①當0＜t＜3時，求四邊形CDBP的面積S與t的函數關系式，并求出S的最大值；

②點Q在直線BC上，若以CD為邊，點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3（2）①t＝時，S的最大值為②P（1，4）或（2，3）或（，）或（，）

【解析】

(1)設所求拋物線的表達式為 y＝a(x+1)(x﹣3)，把點C(0，3)代入表達式，即可求解；

(2)①設P(t，﹣t2+2t+3)，則E(t，﹣t+3)，S四邊形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝CDOB+PEOB，即可求解；

②分點P在點Q上方、下方兩種情況討論即可求解．

(1)∵拋物線的對稱軸為x＝1，A(﹣1，0)，

∴B(3，0)．

∴設所求拋物線的表達式為 y＝a(x+1)(x﹣3)，

把點C(0，3)代入，得3＝a(0+1)(0﹣3)，

解得a＝﹣1，

∴所求拋物線的表達式為y＝﹣(x+1)(x﹣3)，即y＝﹣x2+2x+3；

(2)①連結BC．

∵B(3，0)，C(0，3)，

∴直線BC的表達式為y＝﹣x+3，

∵OB＝3OD，OB＝OC＝3，

∴OD＝1，CD＝2，

過點P作PE∥y軸，交BC于點E(如圖1)．

設P(t，﹣t2+2t+3)，則E(t，﹣t+3)．

∴PE＝﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t2+3t．

S四邊形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝CDOB+PEOB，

即S＝×2×3+(﹣t2+3t)×3＝﹣(t﹣)2+，

∵a＝﹣＜0，且0＜t＜3，

∴當t＝時，S的最大值為；

②以CD為邊，點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，

則PQ∥CD，且PQ＝CD＝2．

∵點P在拋物線上，點Q在直線BC上，

∴點P(t，﹣t2+2t+3)，點Q(t，﹣t+3)．

分兩種情況討論：

(Ⅰ) 如圖2，當點P在點Q上方時，

∴(﹣t2+2t+3)﹣(﹣t+3)＝2．即t2﹣3t+2＝0．解得 t1＝1，t2＝2．

∴P1(1，4)，P2(2，3)，

(Ⅱ) 如圖3，當點P在點Q下方時，

∴(﹣t+3)﹣(﹣t2+2t+3)＝2．即t2﹣3t﹣2＝0．

解得 t3＝，t4＝，

∴P3(，)，P4(，)，

綜上所述，所有符合條件的點P的坐標分別為：P(1，4)或(2，3)或(，)或(，)．