Question

在△ABC中，P是BC邊上的一個動點，以AP為直徑的⊙O分別交AB、AC于點E和點F．

（1）若∠BAC＝45°，EF＝4，則AP的長為多少？
（2）在（1）條件下，求陰影部分面積．
（3）試探究：當點P在何處時，EF最短？請直接寫出你所發現的結論，不必證明．

Answer 1

（1）直徑AP=2OE=（2）S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF（3）當AP⊥BC時，EF最短

試題分析：解：（1）連接OE、OF，則OE=OF
∵∠EOF=2∠EAF，而∠EAF=∠BAC=45°
∴∠EOF=90°
∴△EOF是等腰直角三角形
在Rt△EOF中
∴OE=OF=
∴直徑AP=2OE=．
（2）S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF
．
（3）在Rt△AEP中，根據垂徑定理和勾股定理知，當AP取最小值時，EF的值最小；又根據點到直線的距離垂線段最短垂線段最短知當AP⊥BC時，AP最短．所以當AP⊥BC時，EF最短．
點評：本題難度中等，主要考查學生對圓與三角形知識點的掌握與學習。做這類題型學生要注意培養數形結合的思維運用到考試中去。