Question

如圖1，AB、CD是兩條線段，M是AB的中點，S_△DMC、S_△DAC、S_△DBC分別表示△DMC、△DAC、△DBC的面積．當AB∥CD時，則有S_△DMC=

S△DAC+S△DBC

2

．
（1）如圖2，M是AB的中點，AB與CD不平行時，作AE、MN、BF分別垂直DC于E、N、F三個點，問結論①是否仍然成立？請說明理由．
（2）若圖3中，AB與CD相交于點O時，問S_△DMC、S_△DAC和S_△DBC三者之間存在何種相等關系？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先看題中給出的條件為何成立，由于三角形ADC，DMC，DBC都是同底，而由于AB∥DC，因此高相等，就能得出題中給出的結論，那么本題也要用高來求解，過A，M，B分別作BC的垂線AE，MN，BF，AE∥MN∥BF，由于M是AB中點，因此MN是梯形AEFB的中位線，因此MN=

1

2

（AE+BF），三個三角形同底因此結論①是成立的．
（2）本題可以利用AM=MB，讓這兩條邊作底邊來求解，三角形ADB中，小三角形的AB邊上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面積就相等（等底同高），因此三角形OAD，OMD的和就等于三角形BMD的面積，同理三角形AOC和OMC的面積和等于三角形CMB的面積．根據這些等量關系即可得出題中三個三角形的面積關系．

解答：解：（1）當AB和CD不平行時，結論①仍然成立．
如圖，由已知，可得AE、BF和MN兩兩平行，
∴四邊形AEFB是梯形．
∵M為AB的中點，
∴MN是梯形AEFB的中位線．
∴MN=

1

2

（AE+BF）．
∴S_△DAC+S_△DBC=

1

2

DC•2MN=2S_△DMC，
∴S_△DMC=

S△DAC+S△DBC

2

．

（2）∵M為AB的中點，
∴S_△ADM=S_△BDM，S_△ACM=S_△BCM，
∴S_△DCM=S_△MOD+S_△MOC
=（S_△AMD-S_△AOD）+（S_△AMC-S_△AOC）
=（S_△BDM+S_△BCM）-（S_△AOD+S_△AOC）
=（S_△DBC-S_△DMC）-S_△DAC，
∴2S_△DCM=S_△DBC-S_△DAC，
∴S_△DMC=

S△DBC-S△DAC

2

．

點評：本題主要考查了梯形中位線定理的應用，根據中位線或中點得出三角形的底相等或高成比例是解題的關鍵．