Question

【題目】定義：如圖1，點M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股點．

（1）已知點M、N是線段AB的勾股點，若AM=1，MN=2，求BN的長；

（2）如圖2，點P（a，b）是反比例函數y=（x＞0）上的動點，直線y=﹣x+2與坐標軸分別交于A、B兩點，過點P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D，且交線段AB于E、F．證明：E、F是線段AB的勾股點；

（3）如圖3，已知一次函數y=﹣x+3與坐標軸交于A、B兩點，與二次函數y=x2﹣4x+m交于C、D兩點，若C、D是線段AB的勾股點，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據勾股點的定理，即可求出BN的長度；

（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征結合反比例函數圖象上點的坐標特征，找出點A、B、E、F的坐標，利用兩點間的距離公式可求出BF、EF、AE的長度，由BF2+AE2=EF2即可證出E、F是線段AB的勾股點；

（3）利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點A、B的坐標，將一次函數解析式代入二次函數解析式中利用解一元二次方程可得出點C、D的橫坐標，進而可得出AC、CD、BD的長度，結合C、D是線段AB的勾股點，即可得出關于m的一元二次方程，解之經檢驗后即可得出結論．

解：（1）∵點M、N是線段AB的勾股點，

∴BN==或BN==，

∴BN的長為或．

（2）∵點P（a，b）是反比例函數y=（x＞0）上的動點，

∴b=．

∵直線y=﹣x+2與坐標軸分別交于A、B兩點，

∴點B的坐標為（0，2），點A的坐標為（2，0）；

當x=a時，y=﹣x+2=2﹣a，

∴點E的坐標為（a，2﹣a）；

當y=時，有﹣x+2=，

解得：x=2﹣，

∴點F的坐標為（2﹣，）．

∴BF==（2﹣），EF==|2﹣a﹣|，AE==（2﹣a）．

∵BF2+AE2=16+2a2﹣8a+﹣=EF2，

∴以BF、AE、EF為邊的三角形是一個直角三角形，

∴E、F是線段AB的勾股點．

（3）∵一次函數y=﹣x+3與坐標軸交于A、B兩點，

∴點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（3，0）．

將y=﹣x+3代入y=x2﹣4x+m中，整理得：x2﹣3x+m﹣3=0，

解得：xC=，xD=，

∴AC=（xC﹣0）=，CD=（xD﹣xC）=，BD=（2﹣xD）=．

∵C、D是線段AB的勾股點，

∴AC2=CD2+BD2或CD2=AC2+BD2，即15﹣2m﹣3=42﹣8m+11﹣2m﹣或42﹣8m=11﹣2m﹣+15﹣2m﹣3，

整理得：4m2﹣37m+85=0或m2﹣4m﹣5=0，

解得：m1=，m2=5，m3=﹣1（不合題意，舍去）．

當m=5時，BD==0，

∴m=5不合題意，舍去，

∴m的值為．