Question

【題目】如圖1，拋物線過點，，點為直線下方拋物線上一動點，為拋物線頂點，拋物線對稱軸與直線交于點．

（1）求拋物線的表達式與頂點的坐標；

（2）在直線上是否存在點，使得，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點坐標；

（3）在軸上是否存在點，使？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），點的坐標為（1，－4）；（2）符合條件的點的坐標為，；（3）點的坐標為或．

【解析】

（1），代入拋物線即可求出拋物線解析式，配方即可求出頂點坐標；

（2）用待定系數法求出直線的表達式為，求得MN=1，分①若為平行四邊形的一邊，則有，且及②若為平行四邊形的對角線，進行解答即可；

（3）構造,使得，作軸，則，根據勾股定理可得，即可求出點的坐標

（1）把，代入拋物線得

解得：

∴

∵

∴點的坐標為（1，－4）．

（2）設直線的表達式為，則

解得：

∴直線的表達式為．

當時，，

∴點的坐標為（1，－3），

∴．

①若為平行四邊形的一邊，則有，且．

設點坐標，則，

∴，

∴（舍去），．

∴點坐標為．

②若為平行四邊形的對角線，設，則．

代入拋物線得：，解得（舍去），，

∴

綜上所述，符合條件的點的坐標為，．

（3）

如圖，在對稱軸上取點，易得，且，以為圓心，為半徑作圓交軸與點，則．作軸，則，

又∵，

∴

∴點的坐標為或．