Question

如圖：等邊三角形ABC的邊長為1，P為AB邊上的一個動點（不包括A、B），過P作PQ⊥BC于Q，過Q作QR⊥AC于R，再過R作RS⊥AB于S．設AP=x，AS=y．
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量取值范圍；
（2）若SP=

1

4

，求AP的長；
（3）若S、P重合點為T，試說明當P、S不重合時，P、S中的哪一個更接近T點？將上述操作，即按逆時針方向，過垂足作相鄰邊的垂線，若操作不斷進行，試依據你的結論，猜想無論P的初始位置如何，P、S…等這些點最終將會出現怎樣的趨勢？（只要直接寫出結果）

Answer 1

分析：（1）本題可先在直角三角形PBQ中，用x表示出BQ的長，然后在直角三角形ASR中用y表示出AR的長，進而在直角三角形QRC中用y表示出QC的長，然后根據BQ+QC=1來得出y，x的函數關系式．
（2）SP的長實際就是y-x或x-y的值，可聯立（1）的函數關系式即可分別得出x即AP的長．
（3）點S應該更接近T點，點S將更接近點T，猜想無論P的初始位置如何，P、S…這些點最終將會無限接近于點T．點T是AB邊上的一個三等分點，靠近點A的那一個，當AP=

1

3

，AB=1，那么BP=

2

3

，BQ=

1

3

，QC=

2

3

，CR=

1

3

，AR=

2

3

，AS=

1

3

．即S，P重合．

解答：解：（1）在直角三角形PBQ中，∠B=60°，BP=1-x，
∴BQ=

1

2

（1-x）；
在直角三角形ASR中，∠A=60°，AS=y，
∴AR=2y；
在直角三角形CQR中，∠C=60°，RC=1-AR=1-2y，
∴CQ=2-4y
∵BC=1
∴

1

2

（1-x）+2-4y=1，即y=-

1

8

x+

3

8

（0＜x＜1）

（2）當S在P下方，
∵SP=

1

4

，即y-x=

1

4

∴x+

1

4

=-

1

8

x+

3

8

，解得x=

1

9

即AP=

1

9

．
當S在P上方，
∵SP=

1

4

，即x-y=

1

4

，
∴x-

1

4

=-

1

8

x+

3

8

，解得x=

5

9

即AP=

5

9

．


（3）S更加接近T．

點評：本題主要考查了等邊三角形和直角三角形的性質以及定點、定值問題．在涉及定點和定值的問題中一般都有變量或動點，但最終的數值或點卻是一定的．解決這類問題，一般都可采用特殊值或特殊的位置，探得定值或定點，如果需要的話再考慮證明．