Question

附加題．觀察計算
當a=5，b=3時，

a+b

2

與

ab

的大小關系是

＞

．
當a=4，b=4時，

a+b

2

與

ab

的大小關系是

=

．
●探究證明
如圖所示，△ABC為圓O的內接三角形，AB為直徑，過C作CD⊥AB于D，設AD=a，BD=b．
（1）分別用a，b表示線段OC，CD；
（2）探求OC與CD表達式之間存在的關系（用含a，b的式子表示）．
●歸納結論
根據上面的觀察計算、探究證明，你能得出

a+b

2

與

ab

的大小關系是：

a+b

2

≥

ab

（當a=b時，取“=”）

．

Answer 1

分析：觀察計算：將a、b的值分別代入已知代數式并求值，然后比較

a+b

2

與

ab

的大小；
探究證明：（1）求出∠ADC=∠BDC=90°，∠CAB=∠BCD，證△ADC∽△CDB，得出

CD

DB

=

AD

CD

，代入即可求出CD，求出AB，即可求出OC；
（2）分為兩種情況：當O和D不重合時得出

a+b

2

＞

ab

，當O和D重合時得出

a+b

2

=

ab

，即可得出答案

a+b

2

≥

ab

．

解答：解：觀察計算：
當a=5，b=3時，

a+b

2

=

5+3

2

=4，

ab

=

3×5

=

15

．
∵4＞

15

，
∴

a+b

2

＞

ab

；
當a=4，b=4時，

a+b

2

=

4+4

2

=4，

ab

=

4×4

=4，
∵4=4，
∴

a+b

2

=

ab

；
故答案是：＞，=；

●探究證明：（1）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠CBA+∠BCD=90°，∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴

CD

DB

=

AD

CD

，即

CD

b

=

a

CD

，CD=

ab

，
∵AB=AD+BD=a+b，
AB是⊙O直徑，
∴半徑OC=

1

2

AB=

a+b

2

；
即OC=

a+b

2

，CD=

ab

；

（2）∵當D和O不重合時，如圖，在Rt△OCD中，OC＞CD，即

a+b

2

＞

ab

；
當D和O重合時，OC=CD，即

a+b

2

=

ab

；
∴OC與CD表達式之間存在的數量關系是：

a+b

2

≥

ab

．

●歸納結論
根據上面的觀察計算、探究證明，你能得出：

a+b

2

≥

ab

（當a=b時，取“=”）．

點評：本題考查了勾股定理和相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力，能根據求出的結果得出規律是解此題的關鍵．