Question

（2013•南通一模）某花木公司在20天內銷售一批馬蹄蓮．其中，該公司的鮮花批發部日銷售量y₁（萬朵）與時間x（x為整數，單位：天）部分對應值如下表所示．

時間x（天）	0	4	8	12	16	20
銷量y1（萬朵）	0	16	24	24	16	0

另一部分鮮花在淘寶網銷售，網上銷售日銷售量y₂（萬朵）與時間x（x為整數，單位：天） 關系如圖所示．
（1）請你從所學過的一次函數、二次函數和反比例函數中確定哪種函數能表示y₁與x的變化規律，寫出y₁與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（2）觀察馬蹄蓮網上銷售量y₂與時間x的變化規律，請你設想商家采用了何種銷售策略使得銷售量發生了變化，并寫出銷售量y₂與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（3）設該花木公司日銷售總量為y萬朵，寫出y與時間x的函數關系式，并判斷第幾天日銷售總量y最大，并求出此時最大值．

Answer 1

分析：（1）先判斷出y₁與x之間是二次函數關系，然后設y₁=ax²+bx+c（a≠0），然后取三組數據，利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）銷售量增加，從降價促銷上考慮，然后分兩段利用待定系數法求一次函數解析式解答；
（3）分①0≤x≤8時，②8＜x≤20時兩種情況，根據總銷售量y=y₁+y₂，整理后再根據二次函數的最值問題解答．

解答：解：（1）由圖表數據觀察可知y₁與x之間是二次函數關系，
設y₁=ax²+bx+c（a≠0），
則

c=0 16a+4b+c=16 64a+8b+c=24

，
解得

a=- 1 4 b=5 c=0

，
故y₁與x函數關系式為y₁=-

1

4

x²+5x（0≤x≤20）；

（2）銷售8天后，該花木公司采用了降價促銷（或廣告宣傳）的方法吸引了淘寶買家的注意力，日銷量逐漸增加；
當0≤x≤8，設y=kx，
∵函數圖象經過點（8，4），
∴8k=4，
解得k=

1

2

，
所以，y=

1

2

x，
當8＜x≤20時，設y=mx+n，
∵函數圖象經過點（8，4）、（20，16），
∴

8m+n=4 20m+n=16

，
解得

m=1 n=-4

，
所以，y=x-4，
綜上，y₂=

1 2 x(0≤x≤8) x-4(8＜x≤20)

；

（3）當0≤x≤8時，
y=y₁+y₂
=

1

2

x-

1

4

x²+5x
=-

1

4

（x²-22x+121）+

121

4

=-

1

4

（x-11）²+

121

4

，
∵拋物線開口向下，x的取值范圍在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，
∴當x=8時，y有最大值，y_最大=-

1

4

（8-11）²+

121

4

=28；
當8＜x≤20時，y=y₁+y₂=x-4-

1

4

x²+5x，
=-

1

4

（x²-24x+144）+32，
=-

1

4

（x-12）²+32，
∵拋物線開口向下，頂點在x的取值范圍內，
∴當x=12時，y有最大值為32，
∴該花木公司銷售第12天，日銷售總量最大，最大值為32萬朵．

點評：本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．最大銷售量的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=-

b

2a

時取得．