Question

請你閱讀引例及其分析解答，希望能給你以啟示，然后完成對探究一和探究二中間題的解答．
引例：設a，b，c為非負實數，求證：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c），
分析：考慮不等式中各式的幾何意義，我們可以試構造一個邊長為a+b+c的正方形來研究．
解：如圖①設正方形的邊長為a+b+c，
則AB=

a2+b2

，
BC=

b2+c 2

，
CD=

a2+c2

，
顯然AB+BC+CD≥AD，
∴

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c）
探究一：已知兩個正數x、y，滿足x+y=12，求

x2+4

+

y2+9

的最小值：
解：（圖②僅供參考）
探究二：若a、b為正數，求以

a2+b2

，

4a2+b2

，

a2+4b2

為邊的三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）設矩形的兩邊長分別為x+y=12，2+3，根據勾股定理得到AB=

x2+4

，BC=

y2+9

，則AB+BC≥AC，利用勾股定理計算AC即可；
（2）設矩形ABCD的兩邊長分別為2a、2b，E、F分別為AB、AD的中點，根據勾股定理得到CF=

4a 2+b2

，CE=

a2+4b2

，EF=

a2+b2

，因此以

a2+b2

，

4a2+b2

，

a2+4b2

為邊的三角形的面積為S_△CEF，然后根據S_△CEF=S_矩形ABCD-S_△CDE-S_△AEF-S_△BCE計算即可．

解答：解：（1）如圖，設矩形的兩邊長分別為x+y=12，2+3，
則AB=

x2+4

，BC=

y2+9

，
顯然AB+BC≥AC，當A、B、C三點共線時，AB+BC最小，
即

x2+4

+

y2+9

的最小值為AC，
而AC=

122+52

=13，
∴

x2+4

+

y2+9

的最小值為13；

（2）如圖，設矩形ABCD的兩邊長分別為2a、2b，E、F分別為AB、AD的中點，
則CF=

4a 2+b2

，CE=

a2+4b2

，EF=

a2+b2

，
∴以

a2+b2

，

4a2+b2

，

a2+4b2

為邊的三角形的面積為S_△CEF，
而S_△CEF=S_矩形ABCD-S_△CDE-S_△AEF-S_△BCE
=4ab-

1

2

•2a•b-

1

2

ab-

1

2

a•2b
=

3

2

ab，
∴以

a2+b2

，

4a2+b2

，

a2+4b2

為邊的三角形的面積為

3

2

ab．

點評：本題考查了利用幾何方法求幾個無理式和的最值問題：先根據題意畫出幾何圖形，再根據勾股定理表示各式的幾何意義，然后根據幾何性質討論最值問題．