Question

（2012•重慶模擬）潼南縣的一家房地產開發公司在2011年底銷售商品房時，市場銷售部經分析發現，每套商品房的利潤P（萬元）與銷售單價x（千元/m²）滿足關系式P=2x+1，銷售量y（套）與銷售單價x（千元/m²）滿足關系式y=-200x+b，且當銷售單價定在4千元/m²時，可以銷售800套．
（1）當銷售單價x定為多少時，該房地產公司獲利最大，最大利潤為多少萬元？
（2）2012年初，由于政府有關房地產的新政策出臺，購房者持幣觀望，開發商預計當銷售單價定位4千元/m²時，可銷售800套，若銷售單價每提高0.1千元/m²，銷售量將減少30套，于是開發商采取了送初裝費等促銷手段以加大銷售力度，并快速回籠獎金，這樣一來，每套房屋利潤將減少2萬元，若開發公司想實現利潤5650萬元且盡量多地回籠資金（即銷售總額更大），問銷售單價應定為多少？（精確到0.1千元/m²）（參考數據：

11

≈3.3 ，

12

≈3.5 ，

13

≈3.6）

Answer 1

分析：（1）將（4，800）代入y=-200x+b，可求出b的值，設利潤為w，則w=py，代入得出w與x的函數關系式，利用配方法可求出利潤的最大值；
（2）設單價定為x千元/m²，則此時的銷量為：（800-30×

x-4

0.1

）套，從而結合題意表示出現在的利潤，由開發公司想實現利潤5650萬元，可得出方程，解出即可得出答案．

解答：解：（1）將點（4，800）代入y=-200x+b，可得：800=-800+b，
解得：b=1600，
故y=-200x+1600，
設利潤為w，則w=py=（2x+1）（-200x+1600）
=-400x²+3000x+1600
=-400（x-

15

4

）²+7225，
當x=

15

4

時，w取得最大，最大利潤為7225萬元．
答：當銷售單價x定為

15

4

千元/m²時，該房地產公司獲利最大，最大利潤為7225萬元．
（2）設單價定為x千元/m²，則此時的銷量為：（800-30×

x-4

0.1

）套，
則w=（2x+1）（800-30×

x-4

0.1

）-2（800-30×

x-4

0.1

）=5650，
整理得：12x²-86x+153=0，
△=2

13

解得：x₁=

86+2 13

24

≈

86+7.2

24

≈3.9，x₂=

86-2 13

24

≈

86-7.2

24

≈3.3，
因為售價為3.9千元/m²時的銷售額＜售價為3.3千元/m²的銷售額，
所以銷售單價應定為3.3千元/m²．

點評：本題考查了二次函數的應用及一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，得到函數關系式，在第二問解方程的時候一定要細心，否則很容易出錯．