Question

【題目】（1）如圖①，D是等邊△ABC的邊BA上一動點（點D與點B不重合），連接DC，以DC為邊，在BC上方作等邊△DCF，連接AF，你能發現AF與BD之間的數量關系嗎？并證明你發現的結論；

（2）如圖②，當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線時，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；

（3）Ⅰ.如圖③，當動點D在等邊△ABC邊BA上運動時（點D與B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方和下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF，BF′，探究AF，BF′與AB有何數量關系？并證明你的探究的結論；

Ⅱ．如圖④，當動點D在等邊△ABC的邊BA的延長線上運動時，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結論是否成立？若不成立，是否有新的結論？并證明你得出的結論．

Answer 1

【答案】（1）AF=BD，理由見解析；（2）AF與BD在（1）中的結論成立，理由見解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由見解析，Ⅱ．Ⅰ中的結論不成立，新的結論是AF=AB+BF′，理由見解析．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，從而得∠BCD=∠ACF，根據SAS證明△BCD≌△ACF，進而即可得到結論；

（2）根據SAS證明△BCD≌△ACF，進而即可得到結論；

（3）Ⅰ．易證△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），進而即可得到結論；Ⅱ．證明△BCF′≌△ACD，結合AF=BD，即可得到結論．

（1）結論：AF=BD，理由如下：

如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC=CF，∠DCF=60°，

∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

∵，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF；

（2）AF與BD在（1）中的結論成立，理由如下：

如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC=CF，∠DCF=60°，

∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

∵，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF；

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB，理由如下：

由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF；

同理：△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，

∴AF+BF′=BD+AD=AB；

Ⅱ．Ⅰ中的結論不成立，新的結論是AF=AB+BF′，理由如下：

同理可得：，，

在△BCF′和△ACD中，

，

∴△BCF′≌△ACD（SAS），

∴BF′=AD，

又由（2）知，AF=BD，

∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．