Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，E為CD邊的中點，將△ADE繞點E順時針旋轉180°，點D的對應點為C，點A的對應點為F，過點E作ME⊥AF交BC于點M，連接AM、BD交于點N，現有下列結論： ①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=ADCM；④點N為△ABM的外心．其中正確的個數為（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵E為CD邊的中點， ∴DE=CE，
又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=FE，
又∵ME⊥AF，
∴ME垂直平分AF，
∴AM=MF=MC+CF，
∴AM=MC+AD，故①正確；
當AB=BC時，即四邊形ABCD為正方形時，
設DE=EC=1，BM=a，則AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，
在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2 ，
解得a=1.5，即BM=1.5，
∴由勾股定理可得AM=2.5，
∴DE+BM=2.5=AM，
又∵AB＜BC，
∴AM=DE+BM不成立，故②錯誤；
∵ME⊥FF，EC⊥MF，
∴EC2=CM×CF，
又∵EC=DE，AD=CF，
∴DE2=ADCM，故③正確；
∵∠ABM=90°，
∴AM是△ABM的外接圓的直徑，
∵BM＜AD，
∴當BM∥AD時， = ＜1，
∴N不是AM的中點，
∴點N不是△ABM的外心，故④錯誤．
綜上所述，正確的結論有2個，
故選：B．

根據全等三角形的性質以及線段垂直平分線的性質，即可得出AM=MC+AD；根據當AB=BC時，四邊形ABCD為正方形進行判斷，即可得出當AB＜BC時，AM=DE+BM不成立；根據ME⊥FF，EC⊥MF，運用射影定理即可得出EC2=CM×CF，據此可得DE2=ADCM成立；根據N不是AM的中點，可得點N不是△ABM的外心．