Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，F為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的長；

（2）求證：AM=DF+ME．

Answer 1

【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠ACD，

∵∠1=∠2，

∴∠ACD=∠2，

∴MC=MD，

∵ME⊥CD，

∴CD=2CE，

∵CE=1，

∴CD=2，

∴BC=CD=2；

（2）證明：如圖，∵F為邊BC的中點，

∴BF=CF=BC，

∴CF=CE，

在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，

∴∠ACB=∠ACD，

在△CEM和△CFM中，

∵，

∴△CEM≌△CFM（SAS），

∴ME=MF，

延長AB交DF于點G，

∵AB∥CD，

∴∠G=∠2，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠G，

∴AM=MG，

在△CDF和△BGF中，

∵，

∴△CDF≌△BGF（AAS），

∴GF=DF，

由圖形可知，GM=GF+MF，

∴AM=DF+ME．

【解析】（1）根據菱形的對邊平行可得AB∥D，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根據等角對等邊的性質可得CM=DM，再根據等腰三角形三線合一的性質可得CE=DE，然后求出CD的長度，即為菱形的邊長BC的長度；

（2）先利用“邊角邊”證明△CEM和△CFM全等，根據全等三角形對應邊相等可得ME=MF，延長AB交DF于點G，然后證明∠1=∠G，根據等角對等邊的性質可得AM=GM，再利用“角角邊”證明△CDF和△BGF全等，根據全等三角形對應邊相等可得GF=DF，最后結合圖形GM=GF+MF即可得證．