Question

如圖①，在矩形 ABCD中，AB=30cm，BC=60cm．點P從點A出發，沿A→B→C→D路線向點D勻速運動，到達點D后停止；點Q從點D出發，沿 D→C→B→A路線向點A勻速運動，到達點A后停止．若點P、Q同時出發，在運動過程中，Q點停留了1s，圖②是P、Q兩點在折線AB-BC-CD上相距的路程S（cm）與時間t（s）之間的函數關系圖象．
（1）請解釋圖中點H的實際意義？
（2）求P、Q兩點的運動速度；
（3）將圖②補充完整；
（4）當時間t為何值時，△PCQ為等腰三角形？請直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）根據P、Q兩點在折線AB-BC-CD上相距的路程S（cm）與時間t（s）之間的函數關系圖象得出H點時兩點相遇；
（2）利用函數圖象得出當兩點在F點到G點兩點路程隨時間變化減慢得出此時Q點停留，只有P點運動，再利用縱坐標的值得出P點和Q點運動速度；
（3）根據4秒后，P點到達D點，只有Q點運動，根據運動速度為15cm/s，還需要運動120-45=75（cm），則運動時間為：75÷15=5（s），進而畫出圖象即可；
（4）根據Q，P的位置不同，進行分類討論得出答案即可．

解答：解：（1）圖中點H的實際意義：P、Q兩點相遇；

 （2）由函數圖象得出，當兩點在F點到G點兩點路程隨時間變化減慢得出此時Q點停留1秒，只有P點運動，此時縱坐標的值由75下降到45，
故P點運動速度為：30cm/s，再根據E點到F點S的值由120變為75，根據P點速度，得出Q點速度為120-75-30=15（cm/s），
即P點速度為30cm/s，Q點速度為 15cm/s；

 （3）如圖所示：根據4秒后，P點到達D點，只有Q點運動，根據運動速度為15cm/s，
還需要運動120-45=75（cm），則運動時間為：75÷15=5（s），畫出圖象即可；

   
（4）如圖1所示，
當QP=PC，此時

1

2

QC=BP，即30-30t=

1

2

（30-15t），
解得：t=

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，
故當時間t=

2

3

s時，△PCQ為等腰三角形，
如圖2所示，
當D，P重合，QD=QC時，
Q為AB中點，則運動時間為：（15+60+30）÷15+1=8（s），
故當時間t=8s時，△PCQ為等腰三角形．
若PC=CQ
故90-30t=30-15t
解得：t=4
則4+1=5（S）
綜上所述：t=

2

3

或t=5或t=8秒時，△PCQ為等腰三角形．

點評：此題主要考查了動點問題的函數圖象，主要運用分類討論的思想，函數的知識和等腰三角形的知識，具有很強的綜合性．