Question

【題目】點(diǎn)P是∠AOB的內(nèi)部任意一點(diǎn)，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別是M、N，D是OP的中點(diǎn)

（1）求證：DM=DN

（2）連接MN,當(dāng)∠MPN=______時(shí)，△DMN是等邊三角形；

（3）探索∠MPN與∠MDN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）150°；（3）∠MPN=180°-∠MDN，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MD=OD，ND=OD，于是可證得；

（2）當(dāng)∠MPN=150°時(shí)，由（1）先證明∠MDP=2∠MOD，∠NDP=2∠NOD，進(jìn)而得到∠MDN=2∠MON=60°即可說(shuō)明此時(shí)△DMN是等邊三角形．

（3）由（2）可知∠MDN=2∠MON，∠MPN+∠MON =180°，于是可得∠MPN=180°-∠MDN.

如圖：

（1）∵PM⊥OA，D是OP的中點(diǎn)，

∴MD=OD，

∵PN⊥OB，D是OP的中點(diǎn)，

∴ND=OD

∴ MD=ND

（2）當(dāng)∠MPN=150°時(shí)，△DMN是等邊三角形.理由如下：

∵∠MPN=150°，PM⊥OA，PN⊥OB，

∴∠MON=30°，

由（1）可知MD=OD，ND=OD，

∴∠MDP=2∠MOD，∠NDP=2∠NOD

∴∠MDN=2∠MON=60°，

∵MD=ND.

∴△DMN是等邊三角形.

（3） 由（2）可知∠MDN=2∠MON，∠MPN+∠MON =180°

∴∠MPN=180°-∠MON=180°-∠MDN

∴∠MPN=180°-∠MDN.