Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點P，連接AP．
（1）求證：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）過點C作CE⊥AP，E是垂足，并延長CE交BM于點D．求證：CE=ED．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如圖，

∵在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點P，

∴PQ=PT，PS=PT，

∴PQ=PS，

∴AP平分∠DAC，

即PA平分∠BAC的外角∠CAM

（2）證明：∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，

∴∠DAE=∠CAE，

∵CE⊥AP，

∴∠AED=∠AEC=90°，

在△AED和△AEC中

∴△AED≌△AEC，

∴CE=ED．

【解析】（1）過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根據角平分線性質求出PQ=PS=PT，根據角平分線性質得出即可；（2）根據ASA求出△AED≌△AEC即可．
【考點精析】掌握角平分線的性質定理是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．