Question

如圖（1），凸四邊形ABCD，如果點(diǎn)P滿足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)．
小題1:在圖（3）正方形ABCD內(nèi)畫一個(gè)半等角點(diǎn)P，且滿足α≠β；
小題2:在圖（4）四邊形ABCD中畫出一個(gè)半等角點(diǎn)P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）；
小題3:若四邊形ABCD有兩個(gè)半等角點(diǎn)P₁、P₂（如圖（2）），證明線段P₁P₂上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn)．

Answer 1

小題1:所畫的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)．（2分）
小題2:畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，延長(zhǎng)DB’交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求（不寫文字說(shuō)明不扣分）．（3分）
小題3:連P₁A、P₁D、P₁B、P₁C和P₂D、P₂B，根據(jù)題意，

∠AP₁D=∠AP₁B，∠DP₁C=∠BP₁C，
∴∠AP₁B+∠BP₁C=180度．
∴P₁在AC上，
同理，P₂也在AC上．
在△DP₁P₂和△BP₁P₂中，
∠DP₂P₁=∠BP₂P₁，∠DP₁P₂=∠BP₁P₂，P₁P₂公共，
∴△DP₁P₂≌△BP₁P₂．
所以DP₁=BP₁，DP₂=BP₂，于是B、D關(guān)于AC對(duì)稱．
設(shè)P是P₁P₂上任一點(diǎn)，連接PD、PB，由對(duì)稱性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)．（5分）

（1）根據(jù)題意可知，所畫的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)．因?yàn)樵趫D形內(nèi)部，所以不能是AC的端點(diǎn)，又由于α≠β，所以不是AC的中點(diǎn)．
（2）畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，延長(zhǎng)DB’交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求．（因?yàn)閷?duì)稱的兩個(gè)圖形完全重合）
（3）先連P₁A、P₁D、P₁B、P₁C和P₂D、P₂B，根據(jù)題意∠AP₁D=∠AP₁B，∠DP₁C=∠BP₁C∴∠AP₁B+∠BP₁C=180度．∴P₁在AC上，同理，P₂也在AC上，再利用ASA證明△DP₁P₂≌△BP₁P₂而，那么△P₁DP₂和△P₁BP₂關(guān)于P₁P₂對(duì)稱，P是對(duì)稱軸上的點(diǎn)，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)