Question

【題目】如圖，把一張長(zhǎng)15cm，寬12cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的小正方形，再折合成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）．設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm．

（1）請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示長(zhǎng)方體盒子的底面積；

（2）當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，其底面積是130cm2？

（3）試判斷折合而成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積是否有最大值？若有，試求出最大值和此時(shí)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)；若沒(méi)有，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（15﹣2x）（12﹣2x）cm2；（2）當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積有最大值．

【解析】

試題分析：（1）由圖可知：長(zhǎng)方體盒子的底面的長(zhǎng)和寬分別是原矩形的長(zhǎng)和寬減去兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)矩形的面積=長(zhǎng)×寬；

（2）得出一個(gè)關(guān)于正方形邊長(zhǎng)x的方程．從而求解；

（2）長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積是四個(gè)小矩形，都是以正方形的邊長(zhǎng)為寬，以盒子的底面的長(zhǎng)或?qū)挒殚L(zhǎng)，根據(jù)這個(gè)關(guān)系，我們可列出關(guān)于側(cè)面積和正方形邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求出這個(gè)最值．

試題解析：（1）（15﹣2x）（12﹣2x）cm2；

（2）依題意得：（15﹣2x）（12﹣2x）=130，即2x2﹣27x+25=0，

解得x1=1，（不合題意，舍去），

∴當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為1cm時(shí)，其底面積是130cm2；

（3）設(shè)長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積是S，則S=2[（15﹣2x）x+（12﹣2x）x]，即S=54x﹣8x2，

S=﹣8（x﹣）2+，（0＜x＜6），當(dāng)x=時(shí)，，

即當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積有最大值．