Question

如圖，已知四邊形ABCD內接于直徑為3的圓O，對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點是P，AB=BD，且PC=0.6，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

分析：連接BO并延長，得到BH⊥AD，可以證明兩三角形相似，利用相似三角形的性質求出CD的長，然后運用勾股定理求出AD，AB和BC的長，再計算出四邊形的周長．

解答：解：設圓心為O，連接BO并延長交AD于H．
∵△ABD是⊙O的內接三角形，AB=BD，
∴OB平分∠ABD，
∵AB=BD，O是圓心，
∴BH⊥AD．
又∵∠ADC=90°，
∴BH∥CD，

CD

BO

=

CP

PO

，
即：

CD

1.5

=

0.6

1.5-0.6

，
∴CD=1．
于是AD=

AC2-CD2

=

9-1

=2

2

．
又OH=

1

2

CD=

1

2

，于是
AB=

AH2+BH2

=

2+4

=

6

．
BC=

AC2-AB2

=

9-6

=

3

．
所以，四邊形ABCD的周長為：1+2

2

+

3

+

6

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據垂徑定理可以得到BH⊥AD，然后用兩直線平行判定兩三角形相似，利用相似三角形的性質計算求出CD的長，再在直角三角形中用勾股定理計算求出四邊形另外三邊的長，得到四邊形ABCD的周長．