Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分線．以O為圓心，OC為半徑作⊙O．AO交⊙O于點E，延長AO交⊙O于點D，tanD= ，

（1）求 的值．
（2）設⊙O的半徑為3，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，過點O作OF⊥AB于點F，

∵AO平分∠CAB，

OC⊥AC，OF⊥AB，

∴OC=OF，

∴AB是⊙O的切線；

連接CE，

∵ED是⊙O的直徑，

∴∠ECD=90°，

∴∠ECO+∠OCD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠ECO=90°，

∴∠ACE=∠OCD，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ACE=∠ODC，

∵∠CAE=∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴ = ，

∵tan∠D= ，

∴ = ，

∴ =

（2）解：

由（1）可知： = ，

∴設AE=x，AC=2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴ = ，

∴AC2=AEAD，

∴（2x）2=x（x+6），

解得：x=2或x=0（不合題意，舍去），

∴AE=2，AC=4，

由（1）可知：AC=AF=4，

∠OFB=∠ACB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△OFB∽△ACB，

∴ = ，

設BF=a，

∴BC= ，

∴BO=BC﹣OC= ﹣3，

在Rt△BOF中，

BO2=OF2+BF2，

∴（ ﹣3）2=32+a2，

∴解得：a= 或a=0（不合題意，舍去），

∴AB=AF+BF= ．

【解析】（1）可把∠D放在直角三角形中，須連接CE，OF，證出△ACE∽△ADC，利用對應邊成比例轉化;（2）利用（1）的結果求出AE、AC，證出△OFB∽△ACB，列出比例式，利用勾股定理建立方程，求出AB.
【考點精析】掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．