Question

【題目】已知：如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間t(s)，解答下列各問題：

（1）求的面積;

（2）當t為何值是，△PBQ是直角三角形？

（3）探究：是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是面積的八分之五？如果存在，求出t的值；不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=2或t=1；（3）不存在

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質及三角形的面積公式求解即可；

（2）由題意此時P點和Q點移動距離為tcm，所以AP=BQ=tcm，BP=AB-AP=3-tcm，則在△PBQ中，∠B=60°，BP=3-t，BQ=t，分①當PQ⊥BC時，則∠BPQ=30°，②當PQ⊥BA時，則∠BQP=30°，兩種情況，結合含30°角的直角三角形的性質求解即可；

（3）作QD⊥AB于D，則，根據的面積可表示出△BQD的面積，從而可得y與t的函數關系式，即可得到關于t的方程，由方程的根的判別式△即可作出判斷.

（1）；

（2）此時P點和Q點移動距離為tcm，所以AP=BQ=tcm，BP="AB-AP=3-tcm"

在△PBQ中，∠B=60°，BP=3-t，BQ=t

①當PQ⊥BC時，則∠BPQ=30°

∴BP=2BQ，即3-t=2t

∴t=1；

②當PQ⊥BA時，則∠BQP=30°

∴BQ=2BP，即2（3-t）=t

∴t=2

綜上所述，t=2或t=1；

（3）作QD⊥AB于D，則

∵

∴

當

∴

化簡得：

∴不存在這樣的t.