Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長和扇形DOE的面積；
（3）在（2）的條件下，如果以點C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為5，則r的取值范圍為            ．

Answer 1

（1）三角形全等求證，進而分析；（2）（3）＜r＜ 

解析試題分析：（1）證明：∵∠CBF＝∠CFB  ∴CB＝CF    又∵AC＝CF ∴CB＝AC＝CF
∴以C為圓心AC長為半徑的⊙C過A、B、F  ∴∠ABF＝90°
∴直線BF是⊙O的切線．                 3分
（2）解：連接DO，EO，
∵點D，點E分別是弧AB的三等分點 ∴∠AOD＝60°又∵OA＝OD ∴△AOD是等邊三角形  ∴∠OAD＝60°，AB=10
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°,∠BAF＝60°, AB=10
∴BF＝          6分
                  8分
（3）連接OC圓心距OC＝，圓O半徑r=5．∴＜r＜ 
考點：全等三角形的性質和判定
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．