Question

如圖1、2，已知四邊形ABCD為正方形，在射線AC上有一動點P，作PE⊥AD（或延長線）于E，作PF⊥DC（或延長線）于F，作射線BP交EF于G．
（1）在圖1中，設正方形ABCD的邊長為2，四邊形ABFE的面積為y，AP=x，求y關于x的函數表達式；
（2）結論：GB⊥EF對圖1，圖2都是成立的，請任選一圖形給出證明；
（3）請根據圖2證明：△FGC∽△PFB．

Answer 1

（1）y=x²+2；(2)證明見解析；（3）證明見解析.

解析試題分析：（1）根據題意得出S_{四邊形ABFE}=4﹣ED×DF﹣BC×FC進而得出答案；
（2）首先利用正方形的性質進而證明△FPE≌△BHP（SAS），即可得出△FPG∽△BPH，求出即可；
（3）首先得出△DPC≌△BPC（SAS），進而利用相似三角形的判定得出△FGC∽△PFB．
試題解析：（1）解：∵PE⊥AD，PF⊥DC，
∴四邊形EPFD是矩形，
∵AP=x，
∴AE=EP=DF=x，
DE=PF=FC=2﹣x，
∴S_{四邊形ABFE}=4﹣ED•DF﹣BC•FC=x²+2；
（2）證明：如圖1，延長FP交AB于H，

∵PF⊥DC，PE⊥AD，
∴PF⊥PE，PH⊥HB，
即∠BHP=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC平分∠DAB，
∴可得PF=FC=HB，EP=PH，
在△FPE與△BHP中
，
∴△FPE≌△BHP（SAS），
∴∠PFE=∠PBH，
又∵∠FPG=∠BPH，
∴△FPG∽△BPH，
∴∠FGP=∠BHP=90°，
即GB⊥EF；
（3）證明：如圖2，連接PD，

∵GB⊥EF，
∴∠BPF=∠CFG①，
在△DPC和△BPC中
，
∴△DPC≌△BPC（SAS），
∴PD=PB，
而PD=EF，∴EF=PB，
又∵GB⊥EF，
∴PF²=FG•EF，
∴PF²=FG•PB，
而PF=FC，
∴PF•FC=FG•PB，
∴②，
∴由①②得△FGC∽△PFB．
考點：四邊形綜合題．