Question

如圖，一個圓形街心花園，有三個出口A、B、C，每兩個出口之間有一條長60米的道路，組成正三角形ABC，在中心O處有一個亭子．為使亭子與原有的道路相通，需修三條小路OD、OE、OF，使另一出口D、E、F分別落在三角形的三邊上，且這三條小道把三角形分成三個全等的多邊形，以備種植不同的花草，
（1）請你按以上要求設計兩種不同的方案．將你的設計方案分別畫在圖（a）、圖（b）上，并附簡單的說明；
（2）要使三條小道把三角形分成三個全等的等腰梯形，應怎樣設計？把方案畫在圖（c）上，并簡單說明畫法（不需證明）；
（3）請你探究出一種一般方法，使得D不論在什么位置，都能準確找到另外兩個出口E、F的位置，請寫明這個畫法．用圖（d）表示出來．
（4）你在上圖中探索出的一般方法是否適用于正方形？請結合圖（e）予以說明；這種方法可以推廣到正n邊形嗎？

Answer 1

解：（1）過點O作三邊的高，垂足分別為D，E，F；

（2）過點O分別作OE∥AB交BC于E；OD∥AC交于D；OF∥BC交AC于F，則點D，E，F為所求；

（3）在AB上任取一點D（不與點A點B重合），再在BC上取E，AC上取F，使BE=CF=AD；

（4）仍適用于正方形．只要使AE=BF=CG=DH即可；這種方法可以推廣到正n邊形也成立．
分析：（1）根據正三角形的性質可以得出作三角形的內心或外心都可以，即可得出作法；
（2）過點O分別作OE∥AB交BC于E；OD∥AC交于D；OF∥BC交AC于F，則點D，E，F為所求；
（3）在AB上任取一點D（不與點A點B重合），再在BE上取E，AC上取F，使BE=CF=AD；
（4）只要使AE=BF=CG=DH即可．
點評：此題主要考查了正三角形內外心的作法以及等腰梯形作法和利用圖形設計解決實際問題等知識，注意題目的擴展結合已知可以延伸得出．