Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°．半徑為1的⊙A與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E，連接DE并延長，與邊BC的延長線交于點P．

（1）當∠B = 30°時，求證：△ABC∽△EPC；

（2）當∠B = 30°時，連接AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長；

（3）若CE = 2，BD = BC，求∠BPD的正切值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）由已知條件易求∠A=60°，又因為AD=AE，所以△ADE是等邊三角形，進而可得∠CEP=60°，由三角形內角和定理可求∠P=30°，繼而可證明△ABC∽△EPC；

（2）根據∠B=30°，∠ACB=90°可得∠BAC=60°，從而得到△ADE是等邊三角形，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPD=30°，然后根據等角對等邊的性質可得BD=PD，再根據△AEP與△BDP相似可得PE=AE，然后根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解；

（3）設BD=BC=x，表示出AB、AC的長度，然后利用勾股定理列式求出x的值為4，過點C作CF∥DP交AB于點F，再根據平行線分線段成比例定理求出DF=2，然后求出BF的長度，再次利用平行線分線段成比例定理求出CP的長度，然后根據正切的定義解答即可．

試題解析：解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE=∠AED=60°，∴∠PEC=∠AED=60°，∵∠ACB=∠ECP=90°，∴∠P=30°，∴△ABC∽△EPC；

（2）∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣30°=60°，∴△ADE是等邊三角形，在△BDP中，∠ADE=∠B+∠BPD，即60°=30°+∠BPD，解得∠BPD=30°，∴∠B=∠BPD，∴BD=PD，∵△AEP與△BDP相似，∴AE=PE，∵⊙A的半徑為1，∴PE=1，在Rt△PCE中，CE=PE=；

（3）設BD=BC=x，∵⊙A的半徑為1，CE=2，∴AB=x+1，AC=2+1=3，∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即32+x2=（x+1）2，解得x=4，過點C作CF∥DP交AB于點F，（如圖2）

則，，即=，解得DF=2，∴BF=BD﹣DF=4﹣2=2，又由CF∥DP可得，即，解得CP=4，∴tan∠BPD===．