Question

閱讀下面的材料，并回答所提出的問題：如圖所示，在銳角三角形ABC中，求證：

b

sinB

=

c

sinC

這個三角形不是一個直角三角形，不能直接使用銳角三角函數的知識去處理，所以必須構造直角三角形，過點A作AD⊥BC，垂足為D，則在Rt△ABD和Rt△ACD中由正弦定義可完成證明．
解：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，
在Rt△ABD中，sinB=

AD

AB

，則AD=csinB
Rt△ACD中，sinC=

AD

AC

，則AD=bsinC
所以c sinB=b sinC，即

b

sinB

=

c

sinC

（1）在上述分析證明過程中，主要用到了下列三種數學思想方法的哪一種（　　）
A、數形結合的思想；B、轉化的思想；C、分類的思想
（2）用上述思想方法解答下面問題．
在△ABC中，∠C=60°，AC=6，BC=8，求AB和△ABC的面積．
（3）用上述結論解答下面的問題（不必添加輔助線）
在銳角三角形ABC中，AC=10，AB=5

6

，∠C=60°，求∠B的度數．

Answer 1

分析：（1）題中給出的解題的過程是通過構建直角三角形，以AD為中間值將相等的條件進行轉化而得出的結果，因此應該選B；
（2）根據題目給出的解題方法，我們也要通過構建直角三角形來求解，過A作AD⊥BC于D，那么先求兩直角三角形的公共邊AD是解題的關鍵，可在三角形ACD中求出AD，CD的長，然后在三角形ABD中求出AB的長，有了AD，BC的長也就能求出三角形的面積了；
（3）可將AC，AB，sinC的值代入題目給出的等量條件中求出sinB的值，也就求出了∠B的度數．

解答：解：（1）由分析知選B；

（2）過A作AD⊥C于D，在直角三角形ACD中，AC=6，∠C=60°，
AD=AC•sin60°=3

3

，CD=AC•cos60°=3，
∴BD=BC-CD=8-3=5，
直角三角形ABD中，根據勾股定理可得，
AB=

AD2+BD2

=2

13

，
S=

1

2

•BC•DA=12

3

，

（3）由題意可得：

AC

sinB

=

AB

sinC

，
即：

10

sinB

=

5 6

sin60°

，
∴sinB=

2

2

，
因此∠B=45°．

點評：本題就是一個先學習再運用過程，目的考查學生綜合能力，首先看懂，然后理解再應用，本題的重點是要學會題中給出的作輔助線的方法．