Question

已知：正方形ABCD邊長為4cm，E，F分別為CD，BC的中點，動點P在線段AB上從B?A以2cm/s的速度運動，同時動點Q在線段FC上從F?C以1cm/s的速度運動，動點G在PC上，且∠EGC=∠EQC，連接PD．設運動時間為t秒．
（1）求證：△CQE∽△APD；
（2）問：在運動過程中CG•CP的值是否發生改變？如果不變，請求這個值；若改變，請說明理由；
（3）當t為何值時，△CGE為等腰三角形并求出此時△CGE的面積．

Answer 1

分析：（1）首先求出QC=2-t，AP=4-2t，求出線段比然后可證明△CQE∽△APD．
（2）依題意證得△CQE∽△APD后推出∠EGC=∠PDC，然后再證明△CGE∽△CDP利用線段比可證得CG•CP=CD•CE．
（3）由（2）得△CGE∽△CDP，要分三種情況討論t的取值然后才能求出△CGE的面積．

解答：（1）證明：∵FQ=t，BP=2t，
∴QC=2-t，AP=4-2t，
∴

QC

AP

=

CE

AD

=

1

2

，
∵∠QCE=∠A=90°，
∴△CQE∽△APD．（2分）

（2）解：CG•CP的值是一個定值．（3分）
∵△CQE∽△APD，
∴∠CQE=∠APD，
∵正方形ABCD中AB∥CD，
∴∠APD=∠PDC，
∵∠EGC=∠EQC，
∴∠EGC=∠PDC，
∵∠PCD=∠PCD，
∴△CGE∽△CDP，
∴

CG

CD

=

CE

CP

，
∴CG•CP=CD•CE=4×2=8．（5分）

（3）解：∵△CGE∽△CDP，
∴△CGE和△CDP的形狀相同．
①t=0時△CDP為等腰三角形，則△CGE也為等腰三角形．（6分）
S_△CGE=2．（7分）
②t=1時△CDP為等腰三角形，則△CGE也為等腰三角形．（8分）
∵

S△CGE

S△CDP

=(

CE

CP

)2，
∴

S△CGE

8

=(

2

2 5

)2，
S_△CGE=

8

5

．（9分）
③t=2的時候∠EGC不存在．（10分）
綜上所述t=0時，△CGE為了等腰三角形面積為2，
t=1時，△CGE為等腰三角形面積為

8

5

．（11分）

點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定，線段的比等知識，難度中上．