Question

（2004•十堰）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知A（4，0）、B（0，3），P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、A不重合），C為OQ的中點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式：
（2）過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，設(shè)OC=x，CD=d，寫出d與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)OQ=3時(shí)，以O(shè)Q為直徑作圓C，試判斷直線AB與圓C的位置關(guān)系；
（4）當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)△OPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段OQ的長的取值范圍：若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（4，0），B（0，3）的坐標(biāo)代入利用待定系數(shù)法求得，y=-x+3；
（2）先證明△ACD∽△ABO，利用其成比例線段可求得d=-x+（0＜x＜4）；
（3）當(dāng)OQ=3時(shí)，圓C的半徑為，即x=此時(shí)圓心C到直線AB的距離d=，所以d=x，即直線AB與圓C相切；
（4）不仿設(shè)圓C與直線AB的切點(diǎn)為M，當(dāng)PQ不與X軸垂直時(shí)，要使△OPQ為直角三角形，須使∠OPQ=90°；
當(dāng)OQ＜3時(shí)，圓C與直線相離，∠OPQ＜90°，
當(dāng)OQ=3時(shí)，圓c與直線相切，
P點(diǎn)與M點(diǎn)重合．∠OPQ=90°，
當(dāng)3＜OQ＜4時(shí)，圓c與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)滿足題設(shè)條件．所以當(dāng)3≤OQ＜4時(shí)，△OPQ可為直角三角形．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），（1分）
將A（4，0），B（0，3）的坐標(biāo)代入有：?，
∴y=-x+3；（2分）

（2）△ACD∽△ABO
∴
∴d=，
即：d=-x+（0＜x＜4）；（5分）

（3）當(dāng)OQ=3時(shí)，圓C的半徑為（2分），即x=，（3分）
此時(shí)圓心C到直線AB的距離d=，
∴d=x，即直線AB與圓C相切；（8分）

（4）不妨設(shè)圓C與直線AB的切點(diǎn)為M，當(dāng)PQ不與X軸垂直時(shí)，要使△OPQ為直角三角形，須使∠OPQ=90°，（9分）
當(dāng)OQ＜3時(shí)，圓C與直線相離，∠OPQ＜90°，（10分）
當(dāng)OQ=3時(shí)，圓c與直線相切，P點(diǎn)與M點(diǎn)重合．∠OPQ=90°，（11分）
當(dāng)3＜OQ＜4時(shí)，圓c與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)滿足題設(shè)條件．
∴當(dāng)3≤OQ＜4時(shí)，△OPQ可為直角三角形．（12分）
點(diǎn)評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象上點(diǎn)的意義和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，并會(huì)用相似三角形的性質(zhì)求得對應(yīng)線段之間的關(guān)系，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系．
試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會(huì)．