Question

【題目】已知邊長為4的正方形ABCD，頂點A與坐標原點重合，一反比例函數圖象過頂點C，動點P以每秒1個單位速度從點A出發沿AB方向運動，動點Q同時以每秒4個單位速度從D點出發沿正方形的邊DC﹣CB﹣BA方向順時針折線運動，當點P與點Q相遇時停止運動，設點P的運動時間為t．

（1）求出該反比例函數解析式；

（2）連接PD，當以點Q和正方形的某兩個頂點組成的三角形和△PAD全等時，求點Q的坐標；

（3）用含t的代數式表示以點Q、P、D為頂點的三角形的面積s，并指出相應t的取值．

Answer 1

【答案】（1）y=；

（2）Q1（，4）；Q2（4，），Q3（4，）；

（3）s1=8t（0＜t≤1）；s2=﹣2t2+2t+8（1≤t≤2）；s3=﹣10t+24（2≤t≤）．

【解析】

試題（1）根據正方形ABCD的邊長為4，可得C的坐標為（4，4），再用待定系數法求出反比例函數解析式；

（2）分點Q在CD，BC，AB邊上，根據全等三角形的判定和性質求得點Q的坐標；

（3）分點Q在CD，BC，AB邊上，由三角形面積公式和組合圖形的面積計算即可求解．

試題解析：解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，

∴C的坐標為（4，4），

設反比例解析式為y=，

將C的坐標代入解析式得：k=16，則反比例解析式為y=；

（2）當Q在DC上時，如圖所示：

此時△APD≌△CQB，

∴AP=CQ，即t=4﹣4t，解得t=，

則DQ=4t=，即Q1（，4）；

當Q在BC邊上時，有兩個位置，如圖所示：

若Q在上邊，則△QCD≌△PAD，

∴AP=QC，即4t﹣4=t，解得t=，

則QB=8﹣4t=，此時Q2（4，）；

若Q在下邊，則△APD≌△BQA，

則AP=BQ，即8﹣4t=t，解得t=，

則QB=，即Q3（4，）；

當Q在AB邊上時，如圖所示：

此時△APD≌△QBC，

∴AP=BQ，即4t﹣8=t，解得t=，

因為0≤t≤，所以舍去．

綜上所述Q1（，4）； Q2（4，），Q3（4，）；

（3）當0＜t≤1時，Q在DC上，DQ=4t，則s=×4t×4=8t；

當1≤t≤2時，Q在BC上，則BP=4﹣t，CQ=4t﹣4，AP=t，

則s=S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=16﹣APAD﹣PBBQ﹣DCCQ=16﹣t×4﹣（4﹣t）[4﹣（4t﹣4）]﹣×4（4t﹣4）═﹣2t2+2t+8；

當2≤t≤時，Q在AB上，PQ=12﹣5t，則s=×4×（12﹣5t），即s=﹣10t+24．

總之，s1=8t（0＜t≤1）；

s2=﹣2t2+2t+8（1≤t≤2）；

s3=﹣10t+24（2≤t≤）．