Question

已知：在△ABC中，AB=AC，點P是BC上一點，PC=2PB，連接AP，作∠APD=∠B交AB于點D．連接CD，交AP于點E．
（1）如圖1，當∠BAC=90°時，則線段AD與BD的數量關系為______；
（2）如圖2，當∠BAC=60°時，求證：AD=BD；
（3）在（2）的條件下，過點C作∠DCQ=60°交PA的延長線于點Q如圖3，連接DQ，延長CA交DQ于點K，若CQ=．求線段AK的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）AD=BD，理由為：如圖1所示，由AB=AC及∠BAC=90°，得到三角形ABC為等腰直角三角形，可得出兩個銳角為45°，再由∠APD=∠B，利用外角性質及角的加減，利用等量代換的思想得到∠BDP=∠APC，得出三角形PBD與三角形ACP相似，由相似得比例，設直角邊AB=AC=3b，利用勾股定理表示出BC，再由PC=2PB，表示出BP和PC，再將表示的AC代入比例式，表示出BD，由AB-BD表示出AD，即可得出AD與BD的關系；
（2）如圖2所示，由AB=AC及∠BAC=60°，得到三角形ABC為等邊三角形，可得出∠B=∠BAC=∠ACB，且AB=AC=BC，由∠APD=∠B，利用外角性質及角的加減，利用等量代換的思想得到∠BDP=∠APC，得出三角形PBD與三角形ACP相似，由相似得比例，設三邊上為3a，根據PC=2PB，表示出PC與BP，代入比例式中表示出BD，由AB-BD表示出AD，即可得出AD與BD的關系；
（3）過點D作DF⊥BC于F點，過D作DM⊥AC于M點，過Q作QN⊥CA交CA延長線于N點，如圖3所示，由（2）表示出的AC，PB，PC，BD，AD，在直角三角形BFD中，由∠B=60°，得出∠BDF=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半表示出BF，進而表示出DF，由BP-BF表示出PF，再由FP+PC表示出CF，在直角三角形CFD中，利用勾股定理表示出CD，由∠APD=∠B=60°，及∠DCQ=60°，得到∠APD=∠DCQ，再由一對對頂角相等，利用內角和定理推出∠PDE=∠CQE，由∠ACB=∠DCQ等號兩邊都減去∠ACD，得到∠PCD=∠ACQ，可得出三角形PCD與三角形ACQ相似，由相似得比例，根據CQ的長得出CD的長，確定出a的值，進而得出BD，AD，CF，DF的長，再由三角形FCD與三角形NCQ相似，由相似得比例，將已知的邊代入求出CN與NQ的長，在直角三角形AMD中，由∠BAD=60°，得出∠ADM=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AM的長，進而得到DM的長，由AC-AM求出CM的長，再由CN-CM求出MN的長，由三角形DMK與三角形QNK相似，由相似得比例，得出KM與KN的比值，可得到KM與MN的比值，將MN的長代入求出KM的長，由KM-AM即可求出AK的長．
解答：（1）AD=BD，理由為：
證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
又∠CPD=∠B+∠BDP=∠APD+∠APC，且∠APD=∠B，
∴∠BDP=∠APC，
∴△PBD∽△ACP，
設AB=AC=3b，則有BC=3b，
由PC=2PB，得到PB=b，PC=2b，
∴=，即=，
解得：BD=b，
∴AD=AB-BD=3b-b=b，
則AD=BD；
故答案為：AD=BD．

（2）證明：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，AB=AC=BC，
設AB=AC=BC=3a，由PC=2PB，得到PB=a，PC=2a，
∵∠CPD=∠B+∠BDP=∠APD+∠APC，且∠APD=∠B，
∴∠BDP=∠APC，
∴△PBD∽△ACP，
∴=，即=，
∴BD=a，
∴AD=AB-BD=3a-a=a，
∴AD=BD；

（3）解：過點D作DF⊥BC于F點，過D作DM⊥AC于M點，過Q作QN⊥CA交CA延長線于N點，

由（2）知：AC=3a，PB=a，PC=2a，BD=a，AD=a，
在Rt△DFB中，∠B=60°，可得出∠BDF=30°，
∴BF=BD=a，DF=a，
∴PF=PB-BF=a，
∴CF=PF+PC=a，
在Rt△CFD中，根據勾股定理得：CD²=CF²+DF²，
解得：CD=a，
∵∠APD=∠B=60°，又∠DCQ=60°，
∴∠APD=∠DCQ，
∵∠PED=∠CEQ，
∴∠PDE=∠CQE，又∠ACB=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCQ-∠ACD，即∠PCD=∠ACQ，
∴△PCD∽△ACQ，
∴===，又CQ=，
∴CD=，即a=，
解得：a=1，
∴BD=，AD=，CF=，DF=，
∵∠CFD=∠CNQ=90°，∠FCD=∠NCQ，
∴△FCD∽△NCQ，
∴==，
∴CN=4，NQ=，
∵在Rt△AMD中，∠DAM=60°，
∴∠BDF=30°，
∴AM=，DM=，
∴CM=AC-AM=，
∴MN=CN-CM=，
∵∠DMK=∠QNK=90°，∠DKM=∠QKN，
∴△DMK∽△QNK，
∴==，即KM=KN，
∴KM=MN=×=，
則AK=KM-AM=-=．
點評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，含30°直角三角形的性質，利用了轉化及等量代換的數學思想，是一道難道較強的壓軸題．