Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．

（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值，如果不能，說明理由；
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，
∴AB=AC=×60=30cm。
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t。∴DF=AE。
（2）能。
∵DF∥AB，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形。
當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10。
∴當t=10時，AEFD是菱形。
（3）若△DEF為直角三角形，有兩種情況：
①如圖1，∠EDF=90°，DE∥BC，

則AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=。
②如圖2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

則AE=2AD，即2t =2×60-4t，解得：t=12。
綜上所述，當t=或12時，△DEF為直角三角形

試題分析：（1）利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質求得DF的長，即可證明。
（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據此即可列方程求得t的值。
（3）△DEF為直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°兩種情況討論。