Question

【題目】

已知：等邊三角形ABC

（1）如圖1，P為等邊△ABC外一點，且∠BPC=120°．試猜想線段BP、PC、AP之間的數量關系,并證明你的猜想；

（2）如圖2，P為等邊△ABC內一點，且∠APD=120°．求證：PA+PD+PC＞BD

Answer 1

【答案】（1）猜想：AP=BP+PC，證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）AP=BP+PC，理由是延長BP至E，使PE=PC，連接CE，由∠BPC=120°，推出等邊△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根據已知等邊△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根據三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出結論；

（2）在AD外側作等邊△AB′D，由（1）得PB′=AP+PD，根據三角形的三邊關系定理得到PA+PD+PC＞CB′，再證△AB′C≌△ADB，根據全等三角形的性質推出CB′=BD即可．

（1）猜想:AP=BP+PC,

證明:延長BP至E,使PE=PC,連接CE,

∵∠BPC=120°

∴∠CPE=60°又PE=PC,

∴△CPE為等邊三角形,

∴CP=PE=CE,∠PCE=60°,

∵△ABC為等邊三角形,

∴AC=BC,∠BCA=60°

∴∠ACB=∠PCE

∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP

∴∠ACP=∠BCE,

∴△ACP≌△BCE（SAS）

∴AP=BE,

∵BE=BO+PE

∴AP=BP+PC

(2)證明:在AD外側作等邊△AB’D,

則點P在三角形AB’D外,連接PB’,B’C,

∵∠APD=120°

∴由(1)得PB’=AP+PD,

在△PB’C中,有PB’+PC’＞CB’,

∴PA+PB+PC＞CB’,

∵△AB’D、△ABC是等邊三角形,

∴AC=AB,AB’=AD

∠BAD=∠CAB’

∴△AB’C≌△ADB

∴CB’=BD,

∴PA+PD+PC＞BD.