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閱讀下列材料：

小貝遇到一個有趣的問題：在矩形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm。現有一動點P按下列方式在矩形內運動：它從A點出發，沿著AB邊夾角為45°的方向作直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為45°的方向作直線運動，并且它一直按照這種方式不停地運動，即當P點碰到BC邊，沿著BC邊夾角為45°的方向作直線運動，當P點碰到CD邊，再沿著與CD邊夾角為45°的方向作直線運動，…，如圖1所示，問P點第一次與D點重合前與邊相碰幾次，P點第一次與D點重合時所經過的路線的總長是多少。小貝的思考是這樣開始的：如圖2，將矩形ABCD沿直線CD折迭，得到矩形A₁B₁CD，由軸對稱的知識，發現P₂P₃=P₂E，P₁A=P₁E。

請你參考小貝的思路解決下列問題：

(1) P點第一次與B點重合前與邊相碰次；

(2) 近一步探究：改變矩形ABCD中AD、AB的長，且滿足AD>AB，動點P從A點出發，按照閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續兩次與邊相碰的位置在矩形ABCD相鄰的兩邊上。若P點第一次與B點重合前與邊相碰7次，則AB：AD的值為。

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下列材料：
小明遇到一個問題：5個同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個新的正方形．他的做法是：按圖2所示的方法分割后，將三角形紙片①繞AB的中點O旋轉至三角形紙片②處，依此方法繼續操作，即可拼接成一個新的正方形DEFG．請你參考小明的做法解決下列問題：
（1）現有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示．請將其分割后拼接成一個平行四邊形．要求：在圖3中畫出并指明拼接成的平行四邊形（畫出一個符合條件的平行四邊形即可）；
（2）如圖4，在面積為2的平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，分別連接AF、BG、CH、DE得到一個新的平行四邊形MNPQ，請在圖4中探究平行四邊形MNPQ面積的大小（畫圖并直接寫出結果）．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下列材料：
小貝遇到一個有趣的問題：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．現有一動點P按下列方式在矩形內運動：它從A點出發，沿著AB邊夾角為45°的方向作直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為45°的方向作直線運動，并且它一直按照這種方式不停地運動，即當P點碰到BC邊，沿著BC邊夾角為45°的方向作直線運動，當P點碰到CD邊，再沿著與CD邊夾角為45°的方向作直線運動，…，如圖1所示，

問P點第一次與D點重合前與邊相碰幾次，P點第一次與D點重合時所經過的路徑的總長是多少．小貝的思考是這樣開始的：如圖2，將矩形ABCD沿直線CD折疊，得到矩形A₁B₁CD，由軸對稱的知識，發現P₂P₃=P₂E，P₁A=P₁E．
請你參考小貝的思路解決下列問題：
（1）P點第一次與D點重合前與邊相碰

次；P點從A點出發到第一次與D點重合時所經過的路徑的總長是

cm；
（2）近一步探究：改變矩形ABCD中AD、AB的長，且滿足AD＞AB，動點P從A點出發，按照閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續兩次與邊相碰的位置在矩形ABCD相鄰的兩邊上．若P點第一次與B點重合前與邊相碰7次，則AB：AD的值為

．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下列材料：
小明遇到一個問題：如圖1，正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD和DA邊上靠近A、B、C、D的n等分點，連接AF、BG、CH、DE，形成四邊形MNPQ．求四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（用含n的代數式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如圖2，將△ABN繞點B順時針旋轉90゜至△CBN′，再將△ADM繞點D逆時針旋轉90゜至△CDM′，得到5個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是

；
請你參考小明的做法，解決下列問題：
（1）取n=3，如圖3，四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為

（直接寫出結果）；
（2）在圖4中探究，n=4時四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為

（在圖4上畫圖并直接寫出結果）；
（3）猜想：當E、F、G、H分別是AB、BC、CD和DA邊上靠近A、B、C、D的n等分點時，四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為

（用含n的代數式表示）；
（4）圖5是矩形紙片剪去一個小矩形后的示意圖，請你將它剪成三塊后再拼成正方形（在圖5中畫出并指明拼接后的正方形）．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2010•房山區一模）閱讀下列材料：
小明遇到一個問題：如圖1，正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD和DA邊上靠近A、B、C、D的n等分點，連接AF、BG、CH、DE，形成四邊形MNPQ．求四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（用含n的代數式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如圖2，將△ABN繞點B順時針旋轉90゜至△CBN′，再將△ADM繞點D逆時針旋轉90゜至△CDM′，得到5個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是

；
然后取n=3，如圖3，將△ABN繞點B順時針旋轉90゜至△CBN′，再將△ADM繞點D逆時針旋轉90゜至△CDM′，得到10個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是

，即

；
請你參考小明的做法，解決下列問題：
（1）在圖4中探究n=4時四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（在圖4上畫圖并直接寫出結果）；
（2）圖5是矩形紙片剪去一個小矩形后的示意圖，請你將它剪成三塊后再拼成正方形（在圖5中畫出并指明拼接后的正方形）．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2012•大興區一模）閱讀下列材料：
小明遇到一個問題：已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=40°，試過△ABC的一個頂點畫一條直線，將此三角形分割成兩個等腰三角形．
他的做法是：如圖2，首先保留最小角∠C，然后過三角形頂點A畫直線交BC于點D．將∠BAC分成兩個角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成兩個等腰三角形．
喜歡動腦筋的小明又繼續探究：當三角形內角中的兩個角滿足怎樣的數量關系時，此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形．
他的做法是：如圖3，先畫△ADC，使DA=DC，延長AD到點B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB=∠ABC，因為∠CDB=2∠A，所以∠ABC=2∠A．于是小明得到了一個結論：
當三角形中有一個角是最小角的2倍時，則此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形．
請你參考小明的做法繼續探究：當三角形內角中的兩個角滿足怎樣的數量關系時，此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形．請直接寫出你所探究出的另外兩條結論（不必寫出探究過程或理由）．

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