Question

【題目】
（1）如圖1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．過D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，請說明EF=BE+CF的理由．
（2）如圖2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分線，若仍然過點D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）題的結論還成立嗎？如果成立，請說明理由；如果不成立，你能否找到EF與BE、CF之間類似的數量關系？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠EBD=∠DBC，∠DCB=∠FCD．

又∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB

∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，

∴BE=ED，CF=FD，

∴EF=ED+DF=BE+CF．

即：EF=BE+CF

（2）解：不成立．EF=BE﹣CF．理由如下（如圖）：

∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分線

∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCG

∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCG，

∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，

∴BE=DE，DF=CF，

∴EF=BE﹣CF

【解析】（1）利用角平分線的性質、平行線的性質、等腰三角形的判定與性質證明BE=ED，CF=FD即可．（2）與（1）方法相同．
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質和三角形的外角的相關知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能正確解答此題．