Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）若∠D=90°，CD=6，AD=12，AB=18，求AE的長(zhǎng)．
（2）求證：AB=AF+CF．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD，則可得EM是梯形ABCD的中位線，在RT△AEN中，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)；
（2）可延長(zhǎng)AE、DF交于點(diǎn)M，不難證明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，現(xiàn)在只要將AF也關(guān)聯(lián)到三角形BEC中，我們發(fā)現(xiàn)，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是個(gè)等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC．

解答：（1）解：

過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD，則EN∥AB，
∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，
∴EN是梯形ABCD的中位線，
∴EN=

1

2

（CD+AB）=12，
在Rt△AEN中，AE=

EN2+AN2

=6

5

；

（2）證明：延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE和△MCE中，

∠AEB=∠MEC BE=CE ∠B=∠MCE

，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠M．
∴MF=AF，
∵M(jìn)C=MF+CF，
∴AB=AF+FC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角梯形、全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)．解答第一問(wèn)的關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，以便構(gòu)造直角三角形；解答第二問(wèn)的關(guān)鍵是作輔助線判斷出△ABE≌△MCE．