Question

【題目】如圖，在中，，，在中，，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上．將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)），連接、，過點(diǎn)作，垂足為，直線交線段于，則的長(zhǎng)為__________．

Answer 1

【答案】7+ .

【解析】

先畫出圖形，過點(diǎn)B作E′C的垂線交其延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，過點(diǎn)D′作CM的垂線交CM于H點(diǎn)，過A點(diǎn)作CM的垂線交其延長(zhǎng)線于G點(diǎn)．在Rt△BFC求出BF，再在△BE′F用“面積法”求CN，證明△ACG≌△BCN，△CD′H≌△CE′N，將有關(guān)線段轉(zhuǎn)化，可求CM，從而可求MN．

解：如圖，若將△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△D′CE′，

過點(diǎn)B作E′C的垂線交其延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，過點(diǎn)D′作CM的垂線交CM于H點(diǎn)，過A點(diǎn)作CM的垂線交其延長(zhǎng)線于G點(diǎn)．
∵∠ACD′=60°，∠ACB=∠D′CE′=90°，
∴∠BCE′=360°-∠ACD′-∠ACB-∠D′CE′=120°．
∴∠BCF=180°-∠BCE′=60°，

∴∠FBC=30°，

∴FC=5，
∴BF= ，

∴S△BCE′=BFCE′= ，

∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACG=∠CBN，
又∵AC=BC，
∴Rt△ACG≌Rt△CBN，
∴AG=CN，CG=BN．
同理△CD′H≌△E′CN，D′H=CN，CH=NE′．
∴AG=D′H，
在△AMG和△D′MH中，

，

∴△AMG≌△D′MH，
∴HM=MG，
∴M為GH中點(diǎn)，CM= ，

又∵BF= ，∠BCF=60°，
∴CF=5，FE′=CF+CE′=11，
∴BE′=，

∴CM=BE′=7．
又∵S△BCE′=CNBE′，
∴CN=2S△BCE′÷BE′=

∴MN=CM+CN=7+ .

故答案是：7+ .