Question

【題目】如圖，二次函數的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為，頂點C的坐標為．

求二次函數的解析式和直線BD的解析式；

點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；

在拋物線上是否存在異于B、D的點Q，使中BD邊上的高為？若存在求出點Q的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）PM有最大值；；（3）存在滿足條件的點Q，其坐標為或．

【解析】

（1）可設拋物線解析式為頂點式，由B點坐標可求得拋物線的解析式，則可求得D點坐標，利用待定系數法可求得直線BD解析式；

（2）設出P點坐標，從而可表示出PM的長度，利用二次函數的性質可求得其最大值；

（3）過Q作QG∥y軸，交BD于點G，過Q和QH⊥BD于H，可設出Q點坐標，表示出QG的長度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關于Q點坐標的方程，可求得Q點坐標．

（1）∵拋物線的頂點C的坐標為（1，4），

∴可設拋物線解析式為y=a（x-1）2+4，

∵點B（3，0）在該拋物線的圖象上，

∴0=a（3-1）2+4，解得a=-1，

∴拋物線解析式為y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3，

∵點D在y軸上，令x=0可得y=3，

∴D點坐標為（0，3），

∴可設直線BD解析式為y=kx+3，

把B點坐標代入可得3k+3=0，解得k=-1，

∴直線BD解析式為y=-x+3；

（2）設P點橫坐標為m（m＞0），則P（m，-m+3），M（m，-m2+2m+3），

∴PM=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2+，

∴當m=時，PM有最大值；

（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，

設Q（x，-x2+2x+3），則G（x，-x+3），

∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO=45°，

∴∠HGQ=∠BGE=45°，

當△BDQ中BD邊上的高為2時，即QH=HG=2，

∴QG=×2=4，

∴|-x2+3x|=4，

當-x2+3x=4時，△=9-16＜0，方程無實數根，

當-x2+3x=-4時，解得x=-1或x=4，

∴Q（-1，0）或（4，-5），

綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為（-1，0）或（4，-5）．