Question

【題目】已知拋物線C：，直線l：y=kx（k＞0），當k=1時，拋物線C與直線l只有一個公共點．

（1）求m的值；

（2）若直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，直線l與直線l1：y=﹣3x+b交于點P，且，求b的值；

（3）在（2）的條件下，設直線l1與y軸交于點Q，問：是否在實數k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）8；（3）不存在．

【解析】

試題分析：（1）兩圖象有一個交點，則對應的方程組有一組解，即△=0，代入計算即可求出m的值；

（2）作出輔助線，得到△OAC∽△OPD，+=2，同理+=2，AC，BE是x2﹣（k+3）x+4=0兩根，即可；

（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．

試題解析：（1）當k=1時，拋物線C與直線l只有一個公共點，∴直線l解析式為y=x，∵，∴，∴，∴△=16﹣4m=0，∴m=4；

（2）如圖，分別過點A，P，B作y軸的垂線，垂足依次為C，D，E，則△OAC∽△OPD，∴．

同理，．

∵，∴，∴，∴，即．

解方程組：，得x=，即PD=．

由方程組消去y，得．

∵AC，BE是以上一元二次方程的兩根，∴AC+BE=k+3，AC×BE=4，∴．解得b=8．

（3）不存在．理由如下：

假設存在，當S△APQ=S△BPQ時，有AP=PB，于是PD﹣AC=PE﹣PD，即AC+BE=2PD．

由（2）可知AC+BE=k+3，PD=，∴k+3=2×，即．

解得k=1（舍去k=﹣7）．

當k=1時，A，B兩點重合，△BQA不存在，∴不存在實數k使S△APQ=S△BPQ．