Question

如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．
（1）求證：CM=CN；
（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，且CD=4，求線段MN的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

試題分析：（1）由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN．
（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得MN的長．
（1）由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM ．
∵ 四邊形ABCD是矩形，
∴ AD∥BC ．
∴∠ANM=∠CMN ．
∴∠CMN=∠CNM ．
∴ CM=CN．
（2）如圖，過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形．
∴HC=DN，NH=DC．
∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，
∴ MC=3ND=3HC．
∴ MH=2HC．
設DN=x，則HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN．
在Rt△CDN中，DC=2x=4，
∴．
∴HM=2．
在Rt△MNH中，MN=．