Question

10、如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N．給出以下三個結論：
①AE=BD
②CN=CM
③MN∥AB
其中正確結論的個數是（　　）

A、0

B、1

C、2

D、3

Answer 1

分析：由△ACD和△BCE是等邊三角形，根據SAS易證得△ACE≌△DCB，即可得①正確；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可證得△ACM≌△DCN，即可得②正確；又可證得△CMN是等邊三角形，即可證得③正確．

解答：解：∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，
即∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，故①正確；
∴∠EAC=∠NDC，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠MCN=60°，
∵AC=DC，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，故②正確；
又∠MCN=180°-∠MCA-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴△CMN是等邊三角形，
∴∠NMC=∠ACD=60°，
∴MN∥AB，故③正確．
故選D．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，以及平行線的判定等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．