Question

【題目】將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．

（1）將圖1中△A1B1C繞點C順時針旋轉45°得圖2，點P1是A1C與AB的交點，點Q是A1B1與BC的交點，求證：CP1＝CQ；

（2）在圖2中，若AP1＝a，則CQ等于多少？

（3）將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉到△A2B2C（如圖3），點P2是A2C與AP1的交點．當旋轉角為多少度時，有△AP1C∽△CP1P2？這時線段CP1與P1P2之間存在一個怎樣的數量關系？．

Answer 1

【答案】

【1】 ⑴證明：∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°；

又B1C＝BC，∠B1＝∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ＝CP1

【2】 ⑵解：作P1D⊥AC于D，∵∠A＝30°∴P1D＝AP1；

∵∠P1CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP1＝P1D＝AP1；

又AP1＝，CQ＝CP1 ，∴CQ＝

【3】 ⑶解：當∠P1CP2＝∠P1AC＝30°時，由于∠CP1P2＝∠AP1C，

則△AP1C∽△CP1P2， 這時，

∴P1P2＝CP1 ．

【解析】

試題（1）根據△A1B1C和△ABC是兩個完全一樣的三角形，順時針旋轉45°兩個條件證明△B1CQ≌△BCP1，然后可求證：CP1=CQ；

（2）作P1D⊥AC于D，根據∠A=30，∠P1CD=45°分別求出P1D=AP1，CP1=P1D=AP1，而AP1=a可求CQ．

（3）當△A P1C∽△CP1P2時，∠P1CP2=∠P1AC=30°，再根據相似求出CP1與P1P2之間存在的數量關系；

試題解析：

（1）∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，

∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；

又B1C=BC，∠B1=∠B，

∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）

∴CQ=CP1；

（2）如圖：作P1D⊥AC于D，

∵∠A=30°，

∴P1D=AP1；

∵∠P1CD=45°，

∴=sin45°=，

∴CP1=P1D=AP1；

又AP1=a，CQ=CP1，

∴CQ=a；

（3）當∠P1CP2=∠P1AC=30°時，由于∠CP1P2=∠AP1C，則△AP1C∽△CP1P2，

所以將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉30°到△A2B2C時，有△AP1C∽△CP1P2．

這時==，

∴P1P2=CP1．