Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，過點C的直線m平行AB，D、E分別是線段AB、直線m上的點，先按如圖方式進行折疊，點A、C分別落在A′、C′處，且A′C′經過點B，DE為折痕，當C′E⊥m時，的值為_____．

Answer 1

【答案】1+

【解析】

由折疊的性質得出∠C′ED=∠CED=45°，由平行線的性質得出∠BDE=∠DEC=45°，再由等邊三角形的性質得出AB=AC=1，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，求出∠DFB=∠CFE=75°，得出∠BCE=60°，∠ACE=∠C′=120°，證出∠A′DB=90°，由直角三角形的性質得出A′B=2A′D，設AD=x，則BA′=2x，BD=1-x，A′D=x，BC′=1-2x，在Rt△A′BD中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出結果．

∵C′E⊥m，

∴∠CEC′＝90°，

∵DE為折痕，

∴∠C′ED＝∠CED＝45°，

∵m∥AB，

∴∠BDE＝∠DEC＝45°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝1，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

設CB與DE交于點F，如圖所示：

則∠DFB＝∠CFE＝75°，

∴∠BCE＝60°，

∴∠ACE＝∠C′＝120°，

∵∠A＝∠A′＝60°，

∴∠A′DE＝135°，

∴∠A′DB＝90°，

∴A′B＝2A′D，

∵A′D＝AD，

設AD＝x，則BA′＝2x，BD＝1﹣x，A′D＝x，BC′＝1﹣2x，

在Rt△A′BD中，由勾股定理得：x2+（1﹣x）2＝（2x）2，

解得：x＝（負值舍去），

∴x＝，

∴BA'＝﹣1+，BC'＝1﹣（﹣1+）＝2﹣，

∴＝＝1+；

故答案為：1+．