Question

在科技館里，小亮看見一臺名為帕斯卡三角的儀器，如圖所示，當一實心小球從入口落下，它在依次碰到每層菱形擋塊時，會等可能地向左或向右落下．

（1）試問小球通過第二層位置的概率是多少？
（2）請用學過的數學方法模擬試驗，并具體說明小球下落到第三層位置和第四層
位置處的概率各是多少？

Answer 1

（1）（2），

方法1：①實心小球在碰到菱形擋塊時向左或向右下落是等可能性的經過一個菱形擋塊后向左或向右下落的概率各是原概率的一半．    1分
畫樹狀圖可知，落到點位置的概率為．··············· 4分
②同理可畫樹狀圖得，落到點位置的概率為．············ 8分
③同理可畫樹狀圖得，落到點位置的概率為．··········· 12分
（注：①中畫圖1分，算出概率2分．②、③中畫圖2分，算出概率2分．）

方法2：（1）實心小球碰到每個菱形擋塊時向左或向右是等可能性的，因此小球下落到的可能性會有以下的途徑｛左右，右左｝兩種情況，······························ 1分
而下落到第二層，共｛左左，左右，右左，右右｝四種情況············ 2分
由概率定義得························· 4分
（2）同理，到達第三層位置會有以下途徑｛左右右，右左右，右右左｝三種情況
······································ 5分
而下落到第三層共有｛左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右｝八種情況    6分
由概率定義得··························· 8分
（3）同理，到達第四層位置會有｛左左左右，左左右左，左右左左，右左左左｝四種情況   9分
而下落到第四層共有｛左左左左，左左左右，左左右左，左右左左，右左左左，左右左右，左右右左，左左右右，右左左右，右左右左，右右左左，右右右左，右右左右，右左右右，左右右右，右右右右｝共16情況 10分
由概率定義得························ 12分
方法3：本題也可用賈憲三角方法，先算出小球下落路徑條數，如下圖．由題意知：小球經過每條路徑的可能性相同．

由概率定義易得，（其中畫圖2分，算出概率2分）···· 4分
，（其中畫圖2分，算出概率2分）············ 8分
．（其中畫圖2分，算出概率2分）······· 12分
（注：其它方案正確，可參照上述方案評分！）
把每一層的菱形看做一步，經過幾層就看做幾步畫樹狀圖，概率為在此點可能的概率相加．得到每一個菱形處向左或向右的概率均為 ，經過某點的概率為該點處的兩個概率相加是解決本題的關鍵．