Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是對角線AC上的兩個動點，分別從A，C同時出發相向而行，速度均為1cm/s，運動時間為t秒，0≤t≤5．

（1）AE＝________，EF＝__________

（2）若G，H分別是AB，DC中點，求證：四邊形EGFH是平行四邊形．（相遇時除外）

（3）在（2）條件下，當t為何值時，四邊形EGFH為矩形．

Answer 1

【答案】（1）t， ；（2）詳見解析；（3）當t為0.5秒或4.5時，四邊形EGFH為矩形

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AC的長度，再根據路程=速度×時間即可求出AE的長度，而當0≤t≤2.5時， ；當2.5＜t≤5時，即可求解；

（2）先通過SAS證明△AFG≌△CEH，由此可得到GF＝HE，，從而有，最后利用一組對邊平行且相等即可證明；

（3）利用矩形的性質可知FG=EF,求出GH，用含t的代數式表示出EF,建立方程求解即可．

（1）

當0≤t≤2.5時，

當2.5＜t≤5時，

∴

故答案為：t，

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，

∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，

∵ G、H分別是AB、DC的中點，

∴AG＝BG，CH＝DH，

∴AG＝CH，

∵AE＝CF，

∴AF＝CE，

在△AFG與△CEH中，，

∴，

∴ GF＝HE，

∴四 邊 形 EGFH是平行四邊形．

（3）解：如圖所示，連接GH，

由（1）可知四邊形EGFH是平行四邊形

∵點 G、H分別是矩形ABCD的邊AB、DC的中點，

∴ GH＝BC＝4，

∴ 當 EF＝GH＝4時，四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：

①當0≤t≤2.5時,AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，

解得：t＝0.5

②當2.5＜t≤5時，,AE＝CF＝t，EF＝2t-5＝4，

解得：t＝4.5

即：當t為0.5秒或4.5時，四邊形EGFH為矩形